Stabilità di un Sistema

Un Sistema si dice Stabile quando, soggetto ad un segnale perturbatore, al cessare di questo, dopo un certo intervallo ritorna nella condizione iniziale (viene valutata l’uscita del sistema). 
Nel caso dei sistemi di controllo, la condizione iniziale (detta set point) dovrà essere riottenuta anche al perdurare del segnale perturbatore. 
In tal caso, se l’uscita tende ad una condizione di equilibrio diversa da quella iniziale (errore di offset), il sistema potrà essere considerato stabile, caso per caso, se i valori rientrano in un campo di errori ammissibili.
La stabilità di un sistema può essere valutata esaminando con il modello matematico l’uscita nel campo reale, al tendere di t all’infinito.
Poiché accade spesso di disporre solo della funzione di uscita nel campo complesso, vediamo come valutare ugualmente la stabilità del sistema.

Con la trasformazione di Laplace, l’equazione differenziale che lega segnale di ingresso e segnale di uscita si trasforma in un’equazione algebrica del tipo

U(s) = G(s) · I(s)

dove U(s) è la trasformata del segnale di uscita del sistema e I(s) la trasformata del segnale di ingresso; G(s), che rappresenta tutti i parametri del sistema, viene detta Funzione di Trasferimento. 
Nel caso dei sistemi Lineari, U(s) assumerà la forma del rapporto tra due polinomi:

dove, in generale, il grado del polinomio al denominatore è maggiore del grado del numeratore. Le m radici del numeratore verranno dette Zeri della funzione; le n radici del denominatore verranno dette Poli della funzione. 
Numeratore e denominatore possono anche essere rappresentati nella forma

in cui sia gli Zeri che i Poli sono o reali o a coppie complessi e coniugati (un polinomio di grado dispari ammette sempre almeno una radice reale).
La frazione di polinomi U(s) può essere scomposta in una somma di frazioni

in modo da applicare l’Antitrasformata di Laplace a ciascun termine.

• Un solo Polo nullo: nel campo reale viene generata una componente costante; l’uscita del sistema raggiunge una condizione di equilibrio non necessariamente uguale alle condizioni iniziali.

• Due o più Poli nulli: nel campo reale viene generata una potenza di t, che rende divergente l’uscita del sistema.

        ecc...

• Poli reali distinti: per ciascun polo reale viene generata una componente esponenziale; se il polo è negativo questo termine tende ad annullarsi, viceversa tende all’infinito al crescere di t

• Coppie di poli complessi: in questo caso anche i coefficienti al numeratore delle frazioni sono dei numeri complessi

consultando le tabelle delle trasformate fondamentali possiamo osservare che le componenti nel campo reale sono

L’uscita del sistema ha dunque un andamento sinusoidale del tipo:
o Oscillazione smorzata per k < 0
o Oscillazione semplice per k = 0
o Oscillazione divergente per k > 0

Quindi, affinché l’uscita di un sistema tenda ad una condizione di equilibrio, occorre che tutti i poli siano reali negativi o complessi a parte reale negativa, con al più un solo polo nullo.
Anche un solo polo reale positivo o una coppia complessa a parte reale positiva rende divergente l’uscita del sistema.
Una coppia di poli puramente immaginari, in assenza di poli a parte reale positiva, produce un’oscillazione infinita: il sistema è instabile, ma può essere accettato se l’oscillazione permane all’interno di un margine di errore ammissibile.