Criterio di Routh
Il criterio di Routh è un metodo matematico per determinare il segno della parte reale delle radici di un polinomio di grado
n, senza risolvere l’equazione che si ottiene uguagliando a zero il polinomio, ma solo esaminando i suoi coefficienti.
Applicato alla trasformata della funzione di uscita, permette di dedurre se un sistema è
stabile o meno, senza però fornire informazioni sul grado di stabilità.
Sia dato il polinomio
an·sn + an-1·sn-1 +
an-2·sn-2 + ... + a1·s + a0
Se tutte le radici del polinomio sono a parte reale negativa, allora tutti i coefficienti
a0, a1, a2,... an, sono dello stesso segno e non nulli, mentre l’implicazione inversa è valida solo per i polinomi di secondo grado con discriminante positivo (Regola dei segni di Cartesio).
Se non tutti i coefficienti a0, a1,
a2,... an, sono dello stesso segno, esiste qualche radice a parte reale positiva e dunque il sistema in esame è
instabile.
Accertata la permanenza dei segni, i coefficienti vengono disposti su due righe
La terza riga viene formata dai i termini delle prime due righe, con la regola
ecc . . .
continuando così fino ad ottenere un termine bi =
0.
La quarta riga viene formata con la regola
 ecc . . .
continuando così fino ad ottenere un termine ci =
0.
Con lo stesso criterio si aggiungono ulteriori righe, fino ad ottenere una riga di elementi tutti nulli (il numero totale delle righe create è pari al numero dei coefficienti del polinomio).
A questo punto occorre esaminare il segno dei termini della prima colonna della disposizione ottenuta :
Il criterio di Routh stabilisce che il numero di radici a parte reale positiva è uguale al numero di variazioni di segno nei termini della prima
colonna.
Si abbia, ad esempio, il polinomio: s5 +
2·s4 + 3·s3 + 5·s2 + 10·s + 18
I segni dei termini della prima colonna presentano due
variazioni di segno, perciò il polinomio in esame presenta
due radici a parte reale positiva;
quindi se il polinomio in esame costituisce il denominatore della funzione di trasferimento
G(s) di un sistema, questo risulta instabile.
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