Modelli Matematici

Un modello matematico è una rappresentazione esemplificativa di un sistema reale, in cui vengono schematizzate le sole caratteristiche fisiche che interessa studiare, tramite una serie di regole (in generale un sistema di Equazioni Algebriche o Differenziali) che legano i parametri (grandezze non manipolabili), le sollecitazioni (ovvero gli ingressi, variabili indipendenti nell'ambito del proprio Campo di Esistenza) e le uscite (variabili dipendenti, anch'esse legate ad un Campo di Esistenza):

Occorre precisare che la classificazione delle grandezze utilizzate dal sistema dipende dal contesto in cui il sistema stesso viene analizzato (ad esempio l'accelerazione di gravità terrestre è un parametro costante al livello del mare, mentre diventa una variabile durante un lancio in orbita).
Il modello matematico esplicito, ovvero la rappresentazione delle grandezze in gioco tramite funzioni, consente lo studio qualitativo di un sistema, in quanto fornisce tutte le indicazioni che descrivono il suo comportamento anche in condizioni differenti. Distinguiamo due tipi di modelli matematici:

• modello matematico Statico, da adottare quando è possibile trascurare le variazioni temporali del sistema. Descrive i legami tra ingressi, parametri e uscite, una volta che il sistema ha raggiunto una posizione di equilibrio ovvero un regime stazionario.

• modello matematico Dinamico, utilizzato per descrivere l'evoluzione temporale delle grandezze in gioco, ovvero durante il sistema in regime transitorio. Per la sua elaborazione è generalmente necessario risolvere Equazioni Differenziali.

Naturalmente l'attendibilità dei risultati ottenuti dipende dal numero delle grandezze e dalle interazioni prese in esame, nonché dalla presenza o meno di fattori aleatori che possono influire sul funzionamento del sistema.
Talvolta sistemi differenti sono rappresentabili con la stessa legge matematica, anche se le variabili delle formule adottate rappresentano grandezze differenti: i sistemi in esame si diranno analoghi. Questa analogia permette lo studio di sistemi complessi, utilizzando sistemi più semplici da realizzare e da manipolare.

Scopo principale del Modello Matematico è la valutazione del futuro equilibrio del Sistema, ovvero della Stabilità dell'uscita. Quando non è possibile calcolare la funzione reale u(t), è possibile spostare il problema nel campo complesso, utilizzando l'Operatore di Laplace, trovare la funzione U(s), e quindi applicare l'Antitrasformata: se quest'ultima operazione non è possibile, possiamo comunque ottenere informazioni sulla Stabilità del sistema applicando alcuni Criteri di Stabilità (Routh, Bode, Nyquist).
Se la Stabilità è dimostrata, possiamo calcolare il valore di equilibrio applicando il Teorema del Valore Finale.