Trasformata di Laplace
La trasformata di Laplace è un'operazione che si esegue sulle funzioni di variabile reale per trasformarle in funzioni di variabile complessa.
Questa trasformazione porta a notevoli semplificazioni nello studio delle suddette funzioni, in particolare nella risoluzione delle equazioni differenziali.
Assegnata una funzione reale f(t) definita per
t >= 0 e tale che f(t)=0 per
t < 0, si definisce come Trasformata di Laplace la funzione
F(s) definita da:
Si può dimostrare che questa trasformazione è biunivoca, quindi, la funzione reale f(t) è l'unica
Antitrasformata della funzione complessa F(s), e si indicherà
Per il calcolo diretto dell'Antitrasformata di Laplace occorre eseguire un'integrazione nel campo complesso; più semplicemente ci limiteremo ad utilizzare a rovescio le trasformate delle funzioni
fondamentali:
Teoremi sulla Trasformata di Laplace
| Linearità: |
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| Trasf.
della Primitiva : |
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Traslazione : |
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Teorema del Valore Finale :
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Occorre precisare che se non è calcolabile il limite della funzione nel campo complesso, allora non esiste quello nel campo reale, mentre se esiste il limite nel campo complesso, non è detto che esista quello nel campo reale.
Il teorema del Valore finale può perciò essere usato per escludere la
stabilità di un sistema, ma da solo non basta per verificarne la Stabilità.
Solo se possiamo appurare con altri metodi (criteri) la convergenza di
f(t) nel campo reale, possiamo trasferire il risultato ottenuto dal campo complesso a quello reale.
