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Equazioni differenziali Lineari
La Trasformata di Laplace può essere usata per la risoluzione delle equazioni integro-differenziali lineari.
Un'equazione integro-differenziale è un'uguaglianza fra due espressioni contenenti operazioni di derivazione e di integrazione, applicate ad una o più funzioni incognite (ci limiteremo al caso
di equazioni lineari con una sola funzione y=y(t)
); ad esempio
a·y"
+ b·y' + c·y = d·t + e
ove a,b,c,d,e
sono costanti reali.
Per l'univocità della trasformata di Laplace, applicando la trasformazione ad ambo i membri dell'equazione, l'uguaglianza non cambia (se due funzioni sono uguali, anche le rispettive trasformate saranno uguali).
Il passaggio nel campo complesso trasforma l'equazione differenziale (di
qualsiasi ordine) in un'equazione algebrica di 1° grado nell'incognita Y(s);
trovata l'espressione di Y(s) applicheremo l'Antitrasformata di Laplace per ottenere la soluzione nel campo
reale y(t).
Il metodo della trasformata di Laplace fornisce direttamente la soluzione tenendo conto delle condizioni iniziali, mentre con il metodo classico occorre trovare prima la soluzione generale e poi imporre le condizioni iniziali.
Consideriamo, ad esempio, l'equazione differenziale
3·y' + 2·y = 0
con condizione iniziale y(0) =
5 .
Applicando ad ambo i membri la trasformata di Laplace avremo:
L [ 3·y' ] + L [ 2·y ] = L [ 0 ]
3·L[ y' ] + 2·L[y ] = 0
3·s·Y(s) - 3·5 + 2·Y(s) = 0
Y(s)·(3·s + 2) = 15
Y(s) = 15 / (3·s + 2) = 5 /
(s + 2/3)
Per applicare l'Antitrasformata bisogna ricondurre la soluzione trovata alla tabella di trasformate conosciute:
y(t) = 5 · L-1[
1 / (s + 2/3) ] = 5
· e -2/3·t
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